I. Hằng đẳng thức đáng nhớ
Bình phương của 1 tổng
Diễn giải: Bình phương của 1 tổng 2 số bằng bình phương của số thứ 1, cùng sở hữu 2 lần tích của số thứ 1 nhân sở hữu số thứ 2, cùng sở hữu bình phương của số thứ 2.
Bình phương của 1 hiệu
Diễn giải: Bình phương của 1 hiệu 2 số bằng bình phương của số thứ 1, trừ đi 2 lần tích của số thứ 1 nhân sở hữu số thứ 2, cùng sở hữu bình phương của số thứ 2.
Hiệu của 2 bình phương
Diễn giải: Hiệu 2 bình phương 2 số bằng tổng 2 số đấy, nhân sở hữu hiệu 2 số đấy.
Lập phương của 1 tổng
Diễn giải: Lập phương của 1 tổng 2 số bằng lập phương của số thứ 1, cùng sở hữu bố lần tích bình phương số thứ 1 nhân số thứ 2, cùng sở hữu bố lần tích số thứ 1 nhân sở hữu bình phương số thứ 2, rồi cùng sở hữu lập phương của số thứ 2.
Lập phương của 1 hiệu
Diễn giải: Lập phương của 1 hiệu 2 số bằng lập phương của số thứ 1, trừ đi bố lần tích bình phương của số thứ 1 nhân sở hữu số thứ 2, cùng sở hữu bố lần tích số thứ 1 nhân sở hữu bình phương số thứ 2, tiếp theo trừ đi lập phương của số thứ 2.
Tổng của 2 lập phương
Diễn giải: Tổng của 2 lập phương 2 số bằng tổng của 2 số đấy, nhân sở hữu bình phương thiếu của hiệu 2 số đấy.
Hiệu của 2 lập phương
Diễn giải: Hiệu của 2 lập phương của 2 số bằng hiệu 2 số đấy, nhân sở hữu bình phương thiếu của tổng của 2 số đấy.
Thí dụ minh họa về hằng đẳng thức
Thí dụ 1
Viết những biểu thức sau thành đa thức:
Gợi ý đáp án
Thí dụ 2
Viết những biểu thức sau thành bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
Gợi ý đáp án
Thí dụ 3
Viết những biểu thức sau thành đa thức:
Gợi ý đáp án
Thí dụ 4
a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 dưới dạng đa thức
b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x – 2 dưới dạng đa thức
Gợi ý đáp án
II. Hệ quả hằng đẳng thức
Bên cạnh ra, ta có những hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường dùng trong lúc biến đổi lượng giác chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,…
Hệ quả sở hữu hằng đẳng thức bậc 2
Hệ quả sở hữu hằng đẳng thức bậc 3
Hệ quả tổng quát
1 số hệ quả khác của hằng đẳng thức
Hy vọng đây là tài liệu bổ ích giúp những em hệ thống lại tri thức, vận dụng vào khiến bài tập phải chăng hơn. Chúc những em ôn tập và đạt được kết quả cao trong những kỳ thi sắp tới.
III. Những dạng bài toán 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
- Dạng 1: Tính giá trị của những biểu thức.
- Dạng 2: Chứng minh biểu thức A mà ko phụ thuộc biến.
- Dạng 3: Vận dụng để tìm giá trị bé nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.
- Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau.
- Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức
- Dạng 6: Phân tách đa thức thành nhân tử.
- Dạng 7: Tìm giá trị của x
- Dạng 8: Thực hành phép tính phân thức
- Dạng 9: Thực hành phép tính phân thức
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
Bài 1 :tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1
Giải.
Ta có : A = x2 – 4x + 4 = A = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9
Vậy : A(-1) = 9
Dạng 2: Chứng minh biểu thức A ko phụ thuộc vào biến
B = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
Giải.
B =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
= x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x
= 4 : hằng số ko phụ thuộc vào biến x.
Dạng 3 : Tìm giá trị bé nhất của biểu thức
C = x2 – 2x + 5
Giải.
Ta có : C = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
Mà : (x – 1)2 ≥ 0 sở hữu mọi x.
Suy ra : (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay C ≥ 4
Dấu “=” xảy ra lúc : x – 1 = 0 hay x = 1
Nên : Cmin= 4 lúc x = 1
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
D = 4x – x2
Giải.
Ta có : D = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 + x2 – 4x) = 4 – (x – 2)2
Mà : -(x – 2)2 ≤ 0 sở hữu mọi x.
Suy ra : 4 – (x – 2)2 ≤ 4 hay D ≤ 4
Dấu “=” xảy ra lúc : x – 2 = 0 hay x = 2
Nên : Dmax= 4 lúc x = 2.
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức
(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
Giải.
VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) ->đpcm.
Vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức
Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Tiếp theo dùng những phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.
IV. 1 số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ
Lưu ý: a và b có thể là dạng chữ (đơn phức hoặc đa phức) hay a,b là 1 biểu thức bất kỳ. Lúc ứng dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ vào bài tập cụ thể thì điều kiện của a, b cần có để thực hành khiến bài tập dưới đây:
- Biến đổi những hằng đẳng thức chủ yếu là sự biến đổi từ tổng hay hiệu thành tích giữa những số, kỹ năng phân tách đa thức thành nhân tử cần cần thành thục thì việc ứng dụng những hằng đẳng thức new có thể rõ ràng và chính xác được.
- Để có thể hiểu rõ hơn về bản chất của việc dùng hằng đẳng thức thì lúc ứng dụng vào những bài toán, bạn có thể chứng minh sự tồn tại của hằng đẳng thức là đúng đắn bằng phương pháp chuyển đổi ngược lại và dùng những hằng đẳng thức liên quan tới việc chứng minh bài toán.
- Lúc dùng hằng đẳng thức trong phân thức đại số, do tính chất từng bài toán bạn cần lưu ý rằng sẽ có nhiều hình thức biến dạng của công thức nhưng bản chất vẫn là những công thức tại trên, chỉ là sự biến đổi tương quan sao cho thích hợp trong việc tính toán.
V. Bài tập về hằng đẳng thức
1. Bài tập tự động luyện
Bài 1: Tính
a) (x + 2y)2;
b) (x – 3y)(x + 3y);
c) (5 – x)2.
d) (x – 1)2;
e) (3 – y)2
f) (x – )2.
Bài 2: Viết những biểu thức sau dưới dạng bình phương 1 tổng
a) x2+ 6x + 9;
b) x2+ x + ;
c) 2xy2 + x2y4 + 1.
Bài 3: Rút gọn biểu thức
a) (x + y)2+ (x – y)2;
b) 2(x – y)(x + y) +(x – y)2+ (x + y)2;
Bài 4: Tìm x biết
a) (2x + 1)2- 4(x + 2)2= 9;
b) (x + 3)2 – (x – 4)( x + 8) = 1;
c) 3(x + 2)2+ (2x – 1)2- 7(x + 3)(x – 3) = 36;
Bài 5: Tính nhẩm những hằng đẳng thức sau
a) 192; 282; 812; 912;
b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;
c) 292- 82; 562- 462; 672 – 562;
Bài 6: Chứng minh rằng những biểu thức sau luôn dương sở hữu mọi giá trị của biến x
a) 9×2- 6x +2;
b) x2 + x + 1;
c) 2×2 + 2x + 1.
Bài 7: Tìm giá trị bé nhất của những biểu thức
a) A = x2- 3x + 5;
b) B = (2x -1)2+ (x + 2)2;
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của những biểu thức
a) A = 4 – x2 + 2x;
b) B = 4x – x2;
Bài 9: Tính giá trị của biểu thức
A. x3+ 12×2+ 48x + 64 tại x = 6
B = x3 – 6×2 + 12x – 8 tại x = 22
C= x3+ 9×2+ 27x + 27 tại x= – 103
D = x3 – 15×2 + 75x – 125 tại x = 25
Bài 10.Tìm x biết:
a) (x – 3)(x2+ 3x + 9) + x(x + 2)(2 – x) = 1;
b) (x + 1)3- (x – 1)3 – 6(x – 1)2 = -10
Bài 11: Rút gọn
a. (x – 2)3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)
b. (x – 2)(x2 – 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x +4)
d. (x + y)3 – (x – y)3 – 2y3
e. (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)
e. (2x + y)(4×2- 2xy +y2) – (2x – y)(4×2+ 2xy + y2)
Bài 12: Chứng minh
a. a3+ b3 = (a + b)3- 3ab(a + b)
b. a3 – b3 = (a – b)3 – 3ab(a – b)
Bài 13: a. Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3 + 3xy
Cho x – y = 1. Tính giá trị của biểu thức x3- y3- 3xy
Bài 14: Chứng minh biểu thức sau ko phụ thuộc vào x:
A = (2x + 3)(4×2- 6x + 9) – 2(4×3- 1)
B = (x + y)(x2- xy + y2) + (x – y)(x2+ xy + y2) – 2×3.
Bài 15. Cho a + b + c = 0. Chứng minh M= N= P sở hữu
M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b);
2. Bài tập nâng cao
Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đấy y = x + 1.
Lời Giải
Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1.
A = 2x² – 5x + 3
= 2(y – 1)² – 5(y – 1) + 3 = 2(y² – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10
Bài 2. Tính nhanh kết quả những biểu thức sau:
a) 127² + 146.127 + 73²
b) 98.28- (184 – 1)(184 + 1)
c) 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²
d) (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)
Lời Giải
a) A = 127² + 146.127 + 73²
= 127² + 2.73.127 + 73²
= (127 + 73)²
= 200²
= 40000 .
b) B = 9 8 .2 8 – (18 4 – 1)(18 4 + 1)
= 188 – (188 – 1)
= 1
c) C = 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²
= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)
= 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1
= 5050.
d) D = (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)
= (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²)+ …+ (4² – 3²) + (2² – 1²)
= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ …+ (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)
= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1
= 210
Bài 3. So sánh 2 số sau, số nào lớn hơn?
a) A = (2 + 1)(22+ 1)(24+ 1)(28 + 1)(216 + 1) và B = 232
b) A = 1989.1991 và B = 19902
Gợi ý đáp án
a) Ta nhân 2 vế của A sở hữu 2 – 1, ta được:
A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
Ta ứng dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, ta được:
A = 232 – 1.
=> Vậy A < B.
b) Ta đặt 1990 = x => B = x²
Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x² – 1
=> B > A là 1.
Bài 4. Chứng minh rằng:
a) a(a – 6) + 10 > 0.
b) (x – 3)(x – 5) + 4 > 0.
c) a² + a + 1 > 0.
Lời Giải
a) VT = a² – 6a + 10 = (a – 3)² + 1 ≥ 1
=> VT > 0
b) VT = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 ≥ 3
=> VT > 0
c) a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + ¾ = (a + ½ )² + ¾ ≥ ¾ >0.
