Bất đẳng thức Cosi Bất đẳng thức Cosi lớp 9

Bất đẳng thức Cosi là 1 khái niệm toán học thường được dùng trong những bài toán trên bậc trung học phổ thông.

Bất đẳng thức Cosi dùng để chỉ bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cùng và trung bình nhân của n số thực ko âm. Trong đấy, trung bình cùng của n số thực ko âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cùng chỉ bằng trung bình nhân lúc và chỉ lúc n số đấy bằng nhau. Vậy bí quyết chứng minh bất đẳng thức Cosi như thế nào? Quy tắc chứng minh là gì? Mời quý khách hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây của Obtain.vn nhé.

I. Bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức cosi xuất phát từ bất đẳng thức giữa trung bình cùng và trung bình nhân (AM – GM). Cauchy là người đã có công chứng minh bất đẳng thức AM – GM bẳng phương pháp quy nạp. Do đấy, bất đẳng thức AM – GM được phát biểu theo bí quyết khác để trở nên bất đẳng thức cosi.

1. Bất đẳng thức AM – GM

Cho x1, x2,…, xn là n số thực ko âm, lúc đấy ta có:

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc x1 = x2 =… = xn

Bất đẳng thức này còn có thể được phát biểu dưới dạng

Hoặc

2. Bất đẳng thức Cosi

Giả sử a1 ,a2,…, an là những số thực bất kì và b1, b2,…, bn là những số thực dương. Lúc đấy, ta luôn có:

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc

3. Bất đẳng thức cosi cho 2 số ko âm

Dấu bằng xảy ra lúc và chỉ lúc a = b

4. Bất đẳng thức cosi cho 3 số ko âm

Dấu bằng xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c

5. Bất đẳng thức cosi cho 4 số ko âm

Dấu bằng xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = d

6. Bất đẳng thức cosi cho n số ko âm

Sở hữu x1, x2,…, xn là n số thực ko âm, lúc đấy ta có:

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc x1 = x2 =… = xn

II. Chứng minh bất đẳng thức cosi

1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi đúng sở hữu 2 thực số ko âm

Sở hữu a = 0 và b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng (1). Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức luôn đúng sở hữu 2 số a, b dương.

Xem Thêm  Công nghệ 6 Bài 8: Thời trang Giải Công nghệ lớp 6 Bài 8 trang 58 sách Chân trời sáng tạo

(luôn đúng sở hữu mọi a, b ≥ 0)

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng sở hữu mọi a, b dương (2)

Từ (1) và (2) => bất đẳng thức cosi đúng sở hữu 2 số thực a, b ko âm.

2. Chứng minh bất đẳng thức Cosi sở hữu 3 thực số ko âm

Rõ ràng a = 0, b = 0, c = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Do đấy, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng sở hữu 3 số thực a, b, c dương.

Đặt

=> x, y, z ≥ 0 => => x + y + z ≥ 0

Bất đẳng thức của 3 số thực a, b, c dương được quy về thành bất đẳng thức của 3 số thực x, y, z dương.

(luôn đúng sở hữu mọi x, y, z ≥ 0)

Dấu “=” xảy ra lúc x = y = z hay a = b = c.

3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi sở hữu 4 số thực ko âm

Dễ dàng nhận ra rằng sở hữu a = 0, b = 0, c = 0, d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Ngay thời điểm hiện tại} chúng ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng sở hữu 4 số thực dương.

Từ kết quả chứng minh bất đẳng thức đúng sở hữu 2 số thực ko âm ta có:

Hệ quả:

Sở hữu Thì bất đẳng thức trở về dạng bất đẳng thức cosi sở hữu 3 số thực dương.

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi sở hữu n số thực ko âm

Theo chứng minh trên trên, n = 2 thì bất đẳng thức luôn đúng.

Giả dụ bất đẳng thức đúng sở hữu n số thì nó cũng đúng sở hữu 2n số. Chứng minh điều này như sau:

Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng sở hữu n là 1 lũy thừa của 2.

Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng sở hữu n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng sở hữu n-1 số như sau:

Theo bất đẳng thức cosi cho n số:

s ge (n – 1) sqrt [n – 1] {x_1x_2…x_{n – 1}}” width=”234″ top=”24″ data-latex=”=> s ge (n – 1) sqrt [n – 1] {x_1x_2…x_{n – 1}}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%3Dpercent3Epercent20spercent20percent5Cgepercent20(npercent20percentE2percent80percent93percent201)%20percent5Csqrtpercent20percent5Bnpercent20percentE2percent80percent93percent201percent5Dpercent20percent7Bx_1x_2percentE2percent80percentA6x_percent7Bnpercent20percentE2percent80percent93percent201percent7Dpercent7D”>

Đây chính là bđt Cosi (n-1) số. Như vậy ta có dpcm.

III. Quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức

Quy tắc track hành: gần như những BĐT đều có tính đối xứng do đấy việc dùng những chứng minh 1 bí quyết track hành, tuần tự động sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng bí quyết giả nhanh hơn.

Xem Thêm  Chúc mừng Sinh nhật người yêu

Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là siêu quan yếu. Nó giúp ta đánh giá tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà lúc dạy cho học sinh ta luyện tập cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dầu trong những kì thi học sinh có thể ko trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật dùng BĐT Cô Si.

Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: ko chỉ học sinh mà ngay cả 1 số giáo viên lúc new nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương siêu hay mắc sai lầm này. Vận dụng liên tục hoặc track hành những BĐT nhưng ko chú ý tới điểm rơi của dấu bằng. 1 nguyên tắc lúc vận dụng track hành những BĐT là điểm rơi buộc phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là những dấu “ = ” buộc phải được cùng được thỏa mãn sở hữu cùng 1 điều kiện của biến.

Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là những bài toán quy hoạch tuyến tính, những bài toán tối ưu, những bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất bé nhất của hàm nhiều biến trên 1 miền đóng. Ta biết rằng những giá trị lớn nhất, bé nhất thường xảy ra trên những vùng biên và những đỉnh nằm trên biên.

Quy tắc đối xứng: những BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của những biến trong BĐT là như nhau do đấy dấu “ = ” thường xảy ra tại vùng những biến đấy bằng nhau. Giả dụ bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra lúc những biến bằng nhau và mang trong mình 1 giá trị cụ thể.

Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được bí quyết chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại

Trên là 5 quy tắc sẽ giúp ta có định hướng để chứng minh BĐT, học sinh sẽ thực sự hiểu được những quy tắc trên qua những thí dụ và bình luận trên phần sau.

Xem Thêm  Bộ đề ôn tập hè môn Lớnán lớp 3 Ôn tập hè 2023 môn Lớnán lớp 3 lên lớp 4

IV. Thí dụ về bất đẳng thức cosi

Thí dụ 1: Cho những số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3.

Chứng minh rằng:

Gợi ý đáp án

Vận dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:

(a2 + b + c)(1 + b + c) ≥ (a + b + c)2 . Do đấy, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh rằng:

Vận dụng bất đẳng thức Cosi lần thứ 2 ta thu được:

VT

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Thí dụ 2: Tìm giá trị bé nhất của biểu thức sở hữu x > 0

Gợi ý đáp án

Vận dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số x > 0 và ta có:

Dấu “=” xảy ra lúc và chỉ lúc (do x > 0)

Vậy min

Thí dụ 3: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Gợi ý đáp án

Vận dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số x > 0, y > 0 ta có:

Lại có, vận dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số x > 0, y > 0 ta có:

Dấu “=” xảy ra lúc và chỉ lúc

Vậy minA = 4 lúc và chỉ lúc x = y = 4

V. Bài tập bất đẳng thức cosi

Bài 1. Giải những phương trình sau:

0)” width=”430″ top=”26″ data-latex=”a) quadleft(x^{2}+1right)left(y^{2}+2right)left(z^{2}+8right)=32 x y z quad(x, y, z>0)” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=a)%20percent5Cquadpercent5Cleft(xpercent5Epercent7B2percent7Dpercent2B1percent5Cright)%5Cleft(ypercent5Epercent7B2percent7Dpercent2B2percent5Cright)%5Cleft(zpercent5Epercent7B2percent7Dpercent2B8percent5Cright)%3D32percent20xpercent20ypercent20zpercent20percent5Cquad(xpercent2Cpercent20ypercent2Cpercent20zpercent3E0)”>

Bài 2. Giải phương trình:

Bài 3. Giải hê phương trình:

Bài 4. Xác đinh số nguyên dương n và những số dương thỏa:

Bài 5. Giải hê phương trình:

Bài 6. Giải hê phương trình:

Bài 7: Tìm giá trị bé nhất của những biểu thức sau:

a, sở hữu x > 0

(gợi ý: biến đổi rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

b, sở hữu x > 0

c, sở hữu x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 8: Tìm giá trị bé nhất của biểu thức sở hữu x > y > 0

(gợi ý: biến đổi )

Bài 9: Sở hữu a, b, c là những số thực ko âm, chứng minh:

(gợi ý vận dụng bất đẳng thức Cô si cho bố số a, b, c ko âm)

Bài 10: Cho bố số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

(gợi ý dùng phương pháp làm cho trội)