Tìm chữ số tận cùng của 1 số tự động nhiên là dạng toán hay. Đa số những tài liệu về dạng toán này đều dùng khái niệm đồng dư, 1 khái niệm trừu tượng và ko có trong chương trình. Vì thế có ko ít học sinh, đặc biệt là quý khách lớp 6 và lớp 7 khó có thể hiểu và tiếp thu được.
Sau đây Obtain.vn xin giới thiệu tài liệu Bài tập toán lớp 6: Tìm chữ số tận cùng được chúng tôi tổng hợp và đăng tải ngay sau đây. Mời bạn đọc cùng theo dõi.
Bài tập toán lớp 6: Tìm chữ số tận cùng
Bài viết này, tôi xin trình bày có quý khách 1 số tính chất và phương pháp, bài toán “tìm chữ số tận cùng”, chỉ dùng tri thức THCS.
Chúng ta xuất phát từ tính chất sau :
Tính chất 1:
a) Những số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 lúc nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn ko thay đổi đổi.
b) Những số có chữ số tận cùng là 4, 9 lúc nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn ko thay đổi đổi.
c) Những số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 lúc nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1.
d) Những số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 lúc nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6.
Việc chứng minh tính chất trên ko khó, xin dành cho bạn đọc. Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự động nhiên x = am, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a.
– Trường hợp chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6.
– Trường hợp chữ số tận cùng của a là 3, 7, 9, vì am = a4n + r = a4n.ar có r = 0, 1, 2, 3 nên từ tính chất 1c => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của ar.
– Trường hợp chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8, cũng như trường hợp trên, từ tính chất 1d => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.ar.
Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của những số:
a) 799 b) 141414 c) 4567
Lời giải:
a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4:
99 – 1 = (9 – 1)(98 + 97 + … + 9 + 1) chia hết cho 4
=> 99 = 4k + 1 (okay thuộc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7
Do 74k có chữ số tận cùng là 1 (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận cùng là 7.
b) Dễ thấy 1414 = 4k (okay thuộc N) => theo tính chất 1d thì 141414 = 144k có chữ số tận cùng là 6.
c) Ta có 567 – 1 chia hết cho 4 => 567 = 4k + 1 (okay thuộc N)
=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận cùng là 6 nên 4567 có chữ số tận cùng là 4.
Tính chất sau được => từ tính chất 1.
Tính chất 2: 1 số tự động nhiên bất kì, lúc nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn ko thay đổi đổi.
Chữ số tận cùng của 1 tổng những lũy thừa được xác định bằng phương pháp tính tổng những chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.
Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009.
Lời giải:
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ lúc chia cho 4 thì dư 1 (những lũy thừa đều có dạng n4(n – 2) + 1, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và những cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng :
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009.
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.
Từ tính chất 1 tiếp tục => tính chất 3.
Tính chất 3:
a) Số có chữ số tận cùng là 3 lúc nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ số tận cùng là 7 lúc nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3.
b) Số có chữ số tận cùng là 2 lúc nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ số tận cùng là 8 lúc nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2.
c) Những số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, lúc nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ ko thay đổi đổi chữ số tận cùng.
Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011.
Lời giải:
Nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ lúc chia cho 4 thì dư 3 (những lũy thừa đều có dạng n4(n – 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
Theo tính chất 3 thì 23 có chữ số tận cùng là 8; 37 có chữ số tận cùng là 7; 411 có chữ số tận cùng là 4; …
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019.
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.
* Trong 1 số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn tới lời giải khá độc đáo.
Bài toán 4: Tồn tại hay ko số tự động nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000.
Lời giải: 19952000 tận cùng bởi chữ số 5 nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đề là liệu n2 + n + 1 có chia hết cho 5 ko ?
Ta có n2 + n = n(n + 1), là tích của 2 số tự động nhiên liên tục nên chữ số tận cùng của n2 + n chỉ có thể là 0; 2; 6 => n2 + n + 1 chỉ có thể tận cùng là 1; 3; 7 => n2 + n + 1 ko chia hết cho 5.
Vậy ko tồn tại số tự động nhiên n sao cho n2 + n + 1 chia hết cho 19952000.
Dùng tính chất “1 số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi những chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9”, ta có thể giải được bài toán sau:
Bài toán 5: Chứng minh rằng những tổng sau ko thể là số chính phương:
a) M = 19k+ 5k+ 1995k + 1996k (có okay chẵn)
b) N = 20042004k+ 2003
Dùng tính chất “1 số nguyên tố lớn hơn 5 chỉ có thể tận cùng bởi những chữ số 1; 3; 7; 9”, ta tiếp tục giải quyết được bài toán :
Bài toán 6: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng: p8n +3.p4n – 4 chia hết cho 5.
* Người trải nghiệm hãy giải những bài tập sau:
Bài 1: Tìm số dư của những phép chia:
a) 21+ 35+ 49 + … + 20038005 cho 5
b) 23+ 37+ 411 + … + 20038007 cho 5
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của X, Y:
X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010
Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016
Bài 3: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của 2 tổng sau giống nhau:
U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013
V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015
Bài 4: Chứng minh rằng ko tồn tại những số tự động nhiên x, y, z thỏa mãn:
19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004.
* Người trải nghiệm thử nghiên cứu những tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn 1 chữ số tận cùng của 1 số tự động nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục trao đổi về vấn đề này.
* Tìm 2 chữ số tận cùng
Nhận xét: Trường hợp x Є N và x = 100k + y, trong ấy okay; y Є N thì 2 chữ số tận cùng của x cũng chính là 2 chữ số tận cùng của y.
Hiển nhiên là y ≤ x. Như vậy, để đơn giản việc tìm 2 chữ số tận cùng của số tự động nhiên x thì thay đổi vào ấy ta đi tìm 2 chữ số tận cùng của số tự động nhiên y (bé hơn).
Rõ ràng số y càng bé thì việc tìm những chữ số tận cùng của y càng đơn giản hơn.
Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm 2 chữ số tận cùng của số tự động nhiên x = am như sau:
Trường hợp 1: Trường hợp a chẵn thì x = am ∶ 2m. Gọi n là số tự động nhiên sao cho an – 1 ∶ 25.
Viết m = pn + q (p; q Є N), trong ấy q là số bé nhất để aq ∶ 4 ta có:
x = am = aq(apn – 1) + aq.
Vì an – 1 ∶ 25 => apn – 1 ∶ 25. Mặt khác, do (4, 25) = 1 nên aq(apn – 1) ∶ 100.
Vậy 2 chữ số tận cùng của am cũng chính là 2 chữ số tận cùng của aq. Tiếp theo, ta tìm 2 chữ số tận cùng của aq.
Trường hợp 2: Trường hợp a lẻ, gọi n là số tự động nhiên sao cho an – 1 ∶ 100.
Viết m = un + v (u ; v Є N, 0 ≤ v < n) ta có :
x = am = av(aun – 1) + av.
Vì an – 1 ∶ 100 => aun – 1 ∶ 100.
Vậy 2 chữ số tận cùng của am cũng chính là 2 chữ số tận cùng của av. Tiếp theo, ta tìm 2 chữ số tận cùng của av.
Trong cả 2 trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta cần tìm được số tự động nhiên n. Trường hợp n càng bé thì q và v càng bé nên sẽ dễ dàng tìm 2 chữ số tận cùng của aq và av.
……….
Mời quý khách tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết
