Công thức tính độ dài đường trung tuyến Ôn tập Lớnán 10

Công thức tính độ dài đường trung tuyến là tài liêu vô cùng hữu ích mà Obtain.vn muốn giới thiệu tới quý thầy cô cùng những em lớp 10 tham khảo.

Tài liệu tổng hợp toàn bộ tri thức về đường trung tuyến là gì, tính chất đường trung tuyến trong tam giác, công thức tính đường trung tuyến và những dạng bài kèm theo. Qua ấy giúp những em học sinh nhanh chóng nắm vững tri thức để giải nhanh những bài Toán 10.

1. Đường trung tuyến là gì?

– Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng ấy.

2. Đường trung tuyến của tam giác

– Đường trung tuyến của 1 tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện trong hình học phẳng. Từng tam giác có 3 đường trung tuyến.

3. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

– Cha đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua 1 điểm. Điểm ấy phương pháp đỉnh 1 khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Giao điểm của bố đường trung tuyến gọi là trọng tâm.

Dí dụ:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có những trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức:

Đường trung tuyến trong tam giác vuông

– Tam giác vuông là 1 trường hợp đặc biệt của tam giác, trong ấy, tam giác sẽ có 1 góc có độ lớn là 90 độ, và 2 cạnh tạo nên góc này vuông góc sở hữu nhau.

– Do ấy, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có toàn bộ những tính chất của 1 đường trung tuyến tam giác.

Xem Thêm  Hợp đồng lao động Mẫu hợp đồng lao động

Định lý 1: Trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng sở hữu cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Định lý 2: 1 tam giác có trung tuyến ứng sở hữu 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.

Dí dụ:

Tam giác ABC vuông tại A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng 1/2 BC

Ngược lại trường hợp AM = 1/2 BC thì tam giác ABC sẽ vuông tại A.

4. Công thức đường trung tuyến

begin{aligned} &m_{a}=sqrt{frac{b^{2}+c^{2}}{2}-frac{a^{2}}{4}}  &m_{b}=sqrt{frac{a^{2}+c^{2}}{2}-frac{b^{2}}{4}}  &m_{c}=sqrt{frac{b^{2}+a^{2}}{2}-frac{c^{2}}{4}} end{aligned}

Trong ấy: a, b ,c lần lượt là những cạnh trong tam giác

ma, mb, mc lần lượt là những đường trung tuyến trong tam giác

5. Bài tập về phương pháp tính độ dài đường trung tuyến

Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Chỉ dẫn giải

a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM vuông góc sở hữu BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Vận dụng định lý Pitago ta có:

AC2 = AM2 + MC2 ⇒ 172 = AM2 + 82 ⇒ AM2 = 172 – 82 = 225 ⇒ AM = 15cm

Bài 2: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.

Chỉ dẫn giải

Gọi AD, CE, BF là những đường trung tuyến tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, AC

Xem Thêm  13 Trò chơi chuyển tiết, giữa tiết cho học sinh Tiểu học 1 số trò chơi giữa tiết thư giãn cho học sinh Tiểu học hay và thú vị nhất

Ta có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên AG=frac{2}{3}AD(1)

CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên (2)

BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên (3)

Ta có tam giác BAC đều nên dễ dàng suy ra AD = BF = CE (4)

Từ 1, 2, 3, 4 suy ra AG = BG = CG

Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD tại M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

b) AM = BC.

Chỉ dẫn giải

a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD

Mặt khác

Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD

M là giao của BE và CD

Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b. A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC

Suy ra AM = 1/2 BC

Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy 2 điểm G và Okay sao cho BG = BM và G là trung điểm của BK. Gọi N là trung điểm của KC , GN cắt CM tại O. Chứng minh:

a) O là trọng tâm của tam giác GKC ;

b) GO = BC

Học sinh tự động giải

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng những khoảng phương pháp từ trọng tâm G của tam giác tới những đỉnh của tam giác.

Xem Thêm  Cách mở khóa tướng trong LMHT: Tốc Chiến thực nhanh

Chỉ dẫn giải

Gọi AD, CE, BF lần lượt là những đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC

Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta có tam giác ABC vuông tại A, ứng dụng định lý Pitago ta có:

BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông tại A, ứng dụng định lý Pitago ta có:

EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương tự động ta xét tam giác AFB vuông tại A, ứng dụng định lý Pitago ta có:

BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng những khoảng phương pháp từ trọng tâm G của tam giác tới những đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 6: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Biết AM = BC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

Học sinh tự động giải

Bài 7: Cho tam giác ABC. Những đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh frac{3}{2}BC” width=”84″ top=”34″ data-latex=”BD>frac{3}{2}BC” data-i=”14″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=BDpercent3Epercent5Cfracpercent7B3percent7Dpercent7B2percent7DBC”>

Chỉ dẫn giải

Học sinh tự động vẽ hình.

Xét tam giác BGC có:

BG + CG > BC

⇒ BC” width=”166″ top=”41″ data-latex=”frac{2}{3}BD + frac{2}{3}CE > BC” data-i=”15″ class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%5Cfracpercent7B2percent7Dpercent7B3percent7DBDpercent20percent2Bpercent20percent5Cfracpercent7B2percent7Dpercent7B3percent7DCEpercent20percent3Epercent20BC”>

⇒ BD + CE >

………………..

Mời khách hàng tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết